Неравенства решаемые с переменной под знаком модуля

Модуль уравнения и неравенства

неравенства решаемые с переменной под знаком модуля

классы задач, решаемые по единой методике. знать: основные методы решения уравнений и неравенств с модулем, с параметром, При решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. уравнений, неравенств, содержащих модуль, и построение графиков элементарных состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля. неравенств, содержащих переменную в основании логарифма: методы, Ключевые слова: модуль, абсолютная величина, уравнение, К простейшим (не обязательно простым) уравнениям относятся уравнения, решаемые .. в которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля.

Программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения. Данный пробел и пытается восполнить настоящий диплом.

Решение неравенств, содержащих неизвестную величину под знаком модуля

Дипломная работа состоит из 5 разделов. В первом разделе приведены равносильные определения модуля, его геометрическая интерпретация, свойства абсолютной величины.

неравенства решаемые с переменной под знаком модуля

На примере показано, как используя модуль, любую систему уравнений и неравенств с одной и тоже областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения. Так же показано на примере, как линейный сплайн, предствавить в виде одного уравнения с модулями.

неравенства решаемые с переменной под знаком модуля

Приведены примеры заданий, в которых используются либо свойства модуля, либо уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины, возникают в процессе решения.

Во втором разделе представлены методы решения простейших уравнений и неравенств с модулями, решение которых не требует использование трудоемкого процесса раскрытия модулей. В третьем разделе представлено графическое решение уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины. Графическое решение уравнений и неравенств с модулем в некоторых случаях гораздо более простое, чем аналитическое.

Решение неравенств, содержащих неизвестную величину под знаком модуля

В этом разделе рассмотрены построение графиков функций. Много внимания уделено построению графиков функций, представляющих собой сумму линейных выражений под знаком абсолютной величины.

неравенства решаемые с переменной под знаком модуля

Приведены теоремы об экстремумах функций, содержащих сумму линейных выражений под знаками абсолютных величин, позволяющие эффективно решать задачи как на нахождение экстремумов подобных функции, так и решать задачи с параметрами.

Следовательно, на каждом из найденных промежутков можно заменить модули либо подмодульными выражениями, либо выражениями, противоположными им, и свести задачу к решению обычных линейных уравнений, равносильных исходному уравнению на каждом из рассматриваемых интервалов: Следовательно, исходное уравнение можно записать в виде: Это значение принадлежит интервалу - ; -то есть является решением первоначального уравнения.

Знаки подмодульных выражений на интервалах числовой прямой распределяются так: Решим уравнение на каждом промежутке: Видим, что оба корня не соответствуют условию, поставленному на знак подмодульного выражения, следовательно, являются посторонними.

простейшие неравенства с одной переменной под знаком модуля

Запишем уравнение несколько иначе: Процесс решения можно сократить в том случае, когда неизвестное входит только в подмодульное выражение. При этом обычно нет надобности исследовать знак этого выражения, так как его значение ограничивается конкретными числами. Выражение, модуль которого равен 8, может принимать только два значения: Применим это утверждение к решению уравнения: Выбранный способ решения не приводит к появлению посторонних корней.

Решением уравнения может оказаться не конечный набор чисел, а непрерывный промежуток. Кроме того, вы можете включать точку, разделяющую интер- 5 валы, в любой из соседних промежутков если она не является решением уравнения, то ее включение в выбранный интервал не изменит набора корней, а если является, то этот корень обязательно получится в каждом из уравнений, к которым сводится исходное уравнение на соседних интервалах, и, соответственно, войдет в ответ.

Линейные неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

Раскроем на каждом интервале оба модуля с учетом знака подмодульных выражений: Найденный корень располагается на заданном интервале, следовательно, входит в ответ. Точка 0 не включена в интервал, поэтому корень оказался посторонним. Видим, что на этом промежутке уравнение превратилось в тождество, то есть его решением является любое значение х из рассматриваемого промежутка. Неравенства с модулем Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки границами этих промежутков являются нули подмодульных выраженийа затем неравенство решается на каждом из промежутков.

Рассмотрим неравенство f x g x. Значит, если x является решением, то для него g x 0, и согласно 6 геометрическому смыслу модуля, как расстоянию на координатной оси, данное неравенство равносильно системе g x f x g x. Расставим знаки этих выражений на полученных интервалах: Последовательно решим три системы неравенств: Рассмотрим каждый случай отдельно: Итак, решением для этого случая является интервал 1 1. Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.